[입체도형]다면체(각기둥, 각뿔, 각뿔대)

1학년 1학기는
소인수분해, 정수와 유리수의 사칙연산,
일차방정식, 정비례와 반비례와 같이
대수적인 내용을 학습했다면,

1학년 2학기는
점선면, 평행선의 성질,
삼각형의 결정조건과 합동조건,
평면도형, 입체도형과 같은
기하 내용이 중점적으로 다뤄진다.



대단원 입체도형에서 배우는 내용은
1. 다면체
2. 회전체
3. 기둥의 겉넓이와 부피
4. 뿔의 겉넓이와 부피
5. 구의 겉넓이와 부피이다.



수업시간에는 교과 내용을 재구성하여
1. 다면체
2. 정다면체

3. 회전체
4. 기둥, 뿔, 구의 겉넓이
5. 기둥, 뿔, 구의 부피
이렇게 수업을 진행한다.


다면체란?
다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형이다.

이때 다면체를 둘러싸고 있는 다각형을
다각형의 면,
다각형의 변을 다면체의 모서리,
다각형의 꼭짓점을 다면체의 꼭짓점
이라고 한다.



초등학교에서 배운 다면체로는
각기둥, 각뿔이 있고
중학교에서 새롭게 각뿔대라는
다면체를 배운다.


--- 각기둥이란? ---

두 밑면이 서로 평행하고 합동인 다각형이고,
옆면이 모두 직사각형인 다면체를
각기둥이라고 한다.

밑면의 모양이 삼각형이면 삼각기둥,
밑면의 모양이 사각형이면 사각기둥,
밑면의 모양이 오각형이면 오각기둥,
이렇게 밑면의 모양을 기준으로
이름을 붙이기도 하지만

면의 개수에 따라서
삼각기둥을 오면체,
사각기둥은 육면체,
오각기둥은 칠면체와 같이
부르기도 한다.



--- 각뿔이란? ---
밑면이 다각형이고,
옆면이 모두 삼각형인 다면체이다.

밑면의 모양이 사각형이면 사각뿔,
밑면의 모양이 오각형이면 오각뿔,
이렇게 밑면의 모양에 따라
이름을 붙이기도 하지만

면의 개수에 따라
사각뿔을 오면체,
오각뿔은 육면체로
부르기도 한다.

 

그런데 여기서 잠깐!

옆면이 삼각형이면 된다고 했지

이등변삼각형이라는

강력한 조건은 없다.

따라서 교과서에 나오는

저렇게 예~쁘고 바른 입체 말고

이렇게 찌그러져 있는 입체도

밑면이 다각형이고 

옆면이 모두 삼각형이므로

각뿔(사각뿔)이다.

 

 

--- 각뿔대란? ---

각뿔을 밑면에 평행한 평면으로
자를 때 생기는 두 다면체 중에서
각뿔이 아닌 아래쪽의 다면체를
각뿔대라고 한다.

이때 각뿔대에서 서로 평행한 두 면을 밑면,
밑면이 아닌 사다리꼴 모양의 면을
옆면이라 하고,
각뿔대의 두 밑면에 수직인 선분의 길이를
각뿔대의 높이라고 한다.




다면체의 성질을 파악한다는 것은
각기둥, 각뿔, 각뿔대의
면의 개수, 꼭짓점의 개수, 모서리의 개수를
파악하는 것이다.

n각기둥은 밑면이 n각형이다.

즉, 옆면이 n개의 직사각형으로 둘러싸여 있고
위, 아래 밑면이 두 개 있다.
따라서 면이 개수는 n+2개.

n각형은 꼭짓점이 n개 있으므로
n각기둥의 위, 아래 밑면에서
n개의 꼭짓점이 각각 생긴다.
즉, n각기둥의 꼭짓점은 2n개.

n각형은 모서리도 n개 있다.
따라서 두 밑면에서 나오는 모서리 n개에
두 밑면의 꼭짓점을 잇는
옆면의 기둥 역할의 모서리 n개까지 합하면
총 3n개의 모서리가 있다.



n각뿔은 밑면이 n각형이다.

옆면이 n개의 삼각형으로 둘러싸여 있고,
아래 밑면이 한 개 있다.
즉, 면의 개수는 n+1개.

꼭짓점은 밑면 n각형에서 나오는
꼭짓점 n개에
옆면 삼각형의 위쪽 꼭짓점들이 모여서 생기는
뾰족한 꼭짓점 1개를 더해서
총 n+1개가 생긴다.

모서리는 밑면 n각형에서 나오는 모서리 n개와
밑면 n개의 꼭짓점과 위 쪽 꼭짓점을 연결하는
n개의 모서리가 더해져서
2n개의 모서리가 있다.


n각뿔대는 n각기둥과 위상적 구조가 같다.
n각기둥의 위쪽의 밑면을 축소시키면
n각뿔대가 나오기 때문이다.
따라서 n각뿔대의 면, 모서리, 꼭짓점의 개수는
n각기둥과 같을 수밖에 없다.