[평면도형]다각형의 대각선의 개수

다각형의 대각선의 개수를

구하는 방법을 탐구해보자.

 

먼저! 모든 수학적 개념은

정의를 제대로 알고 가야한다.

 

 

다각형이란,

세 개 이상의 선분으로 둘러싸인

평면도형을 말한다.

 

대각선이란,

다각형에서 이웃하지 않은

두 꼭짓점을 이은 선분이다.

 

 

수학에서 이웃한다는 개념은 

옆에 있다는 것으로 이해해도 된다고 했으니

대각선이란, 다각형에서 옆에 있지 않은

두 꼭짓점을 이은 선분이라 

생각해도 되겠다.

 

 

 

 

자! 그럼!!

1. 삼각형의 대각선의 개수를 구해보자.

 

삼각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는

대각선의 개수는 몇 개인가?

양 옆에 있는 두 꼭짓점을 제외하면

남는 꼭짓점이 없기 때문에

 

삼각형의 한 꼭짓점에서

그을 수 있는 대각선은 존재하지 않고,

즉! 삼각형에는 대각선이 없다. 0개!

 

 

 

 

2. 사각형의 대각선의 개수를 구해보자.

 

사각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 

대각선의 개수는 몇 개인가?

사각형의 한 꼭짓점에서

양 옆에 있는 두 꼭짓점을 제외하면 

하나의 꼭짓점이 남기 때문에

 

사각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는

대각선의 개수는 1개이다.

 

그렇다면!

사각형은 4개의 꼭짓점을 

가지고 있기 때문에

4개의 꼭짓점에서

대각선이 각각 1개씩 그어지고

대각선 하나가 2번 중복되어

세어졌으므로

즉, 사각형의 대각선의 개수는 2개이다.

 

 

 

3. 오각형의 대각선의 개수를 구해보자.

 

오각형의 한 꼭짓점에서 

그을 수 있는 대각선은 몇 개인가?

오각형의 한 꼭짓점에서

양 옆에 있는 두 꼭짓점을 제외하면

2개의 꼭짓점이 남기 때문에

 

오각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는

대각선의 개수는 2개다.

 

그렇다면!

오각형은 5개의 꼭짓점을

가지고 있기 때문에

 

5개의 꼭짓점에서

대각선이 각각 2개씩 그어지고

하나의 대각선이

두 번씩 중복되어 세어졌으므로

아래와 같은 식을 세울 수 있다. 

즉, 오각형의 대각선의 개수는 5개다.

 

 

 

이제 일반화를 해볼까?

 

4. n각형의 대각선의 개수를 구해보자.

n각형의 한 꼭짓점에서 

그을 수 있는 대각선은 몇 개일까?

 

n각형은

n개의 꼭짓점이 있는데

자기 자신과 양 옆에 있는 두 개의 꼭짓점,

총 3개를 제외하면

(n-3)개의 꼭짓점이 남는다.

 

즉, n각형의 한 꼭짓점에서 

그을 수 있는 대각선의 개수는 (n-3)개이다.

 

 

그렇다면!

n각형은 n개의 꼭짓점이 있는데

각각의 꼭짓점에서

(n-3)개의 대각선이 뻗어나갈 것이고,

하나의 대각선을 2번 세었으므로

 

n각형의 대각선의 개수는

위 와 같은 공식으로 구할 수 있다.