[평면도형]부채꼴의 호의 길이와 넓이

 

 

오늘의 학습

1. 부채꼴의 호의 길이와 넓이 공식

2. 부채꼴의 넓이와 호의 길이 사이의 관계 

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원의 넓이와 원의 둘레의 길이를 

구할 수 있다면!

부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하는 것은

너무나도 당연하면서 쉬운 일이다.

 

 

 

아래에 있는 부채꼴은

반지름의 길이가 4cm인 원에서

부채꼴의 중심각의 크기가 30˚가 되도록

원을 쪼갠 것이다.

부채꼴의 호의 길이는 

그 원둘레를 먼저 구하고,

중심각 한 바퀴 360˚ 중에서

30˚에 해당하는 만큼이다.

 

지름이 4cm인 원주(원의 둘레)의 길이는

 이 원주를 360˚ 중에서 30˚만큼 구하면

부채꼴의 호의 길이가 나온다.

 

 

 

부채꼴의 넓이도 마찬가지!

반지름이 4cm인 원의 넓이를 구한 후,

 360˚ 중에서 30˚만큼 구하자.

 

원의 넓이는

부채꼴의 넓이는

 

 

 

 

이 과정을 일반화해서 공식으로 만들어보자.

반지름의 길이가 r이고, 

중심각의 크기가 x ˚인 부채꼴이 있다.

 

부채꼴의 호의 길이를 ℓ, 넓이를 S라고 하면

 

 

 

그런데!!

아래와 같이 부채꼴의 중심각을 모르고

반지름과 부채꼴의 호의 길이만 

알고 있다면, 

어떻게 부채꼴의 넓이를 구할 수 있을까?

 

 

이 경우 부채꼴의 넓이 S는

반지름 r과 호의 길이 ℓ를 곱해서 2로 나누면 된다.

 

 

 

어떻게 이런 공식이 나왔을까?

부채꼴의 넓이 공식에서부터 유도해보자.

호의 길이 ℓ 공식을 먼저 쓰면

넓이 공식과 같아지기 위해서는

2를 없애기 위해 1/2이 필요하고 

r의 제곱을 만들기 위해 r을 추가해야 한다.

따라서,

이 된다.