페르마의 밀실 영화 속 수학 논리 문제 해결하기2

너무너무 재미있는 페르마의 밀실 속 문제풀이!

여섯 번째 문제부터 다시 시작하겠다.

 

도대체 이들은 왜 이 방에 갇혀서 

문제를 풀고 있는 것인가!!

 

 

영화의 스포가 들어있으니

영화를 먼저 보고 오시는 것이 좋을 듯^^!

 

 

6번째 문제는 PDA에서 제시된 문제이다.

 

4분과 7분짜리를 잴 수 있는 모래시계가 있다. 이 두 모래시계를 이용하여 9분을 재는 방법은?

 

이 문제는 1분을 잴 수 있는 상황이 만들어지면

모든 자연수 n에 대하여 n분의 시간을 잴 수 있다는 

것에서 착안한 것이다. 

 

그리고 이 문제에서는 모래시계를 뒤집는 데 걸리는 시간은

없다는 가정 하에 풀어야 한다.

 

4분짜리 모래시계와 7분짜리 모래시계를

동시에 엎는다.

↓

4분이 끝나면 바로 뒤집는다.

↓

7분이 끝났을 때,바로 뒤집으면 

4분짜리 모래시계는 3분만큼 내려갔다.

↓

4분짜리 모래시계가 끝났다는 것은

그 후로 1분이 지나갔다는 것!

4분짜리 모래시계가 끝나는 시점에서

7분짜리 모래시계는 1분이 내려와 있을 것이다.

↓

그 때 바로!! 1분만큼 내려온 7분짜리 모래시계를

다시 뒤집고 모래가 다 내려오면 총 9분이 지났다.

 

 말로 쓰려니 복잡하다.

위의 그림을 보면 간단하고 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

 

 

 

일곱 번째 문제는

방이 많이 줄어들면서 

벽이 줄어드는 것을 막기 위해 

세워져 있던 책장을

바닥에 대각선으로 눕히고

그 사이사이에 책을 끼워 넣는

긴박한 상황에서 PDA에 나온 문제이다.

 

한 학생이 선생님께 물었다. 따님 세분의 나이가 몇인가요? 
선생님께서 말씀하시길 곱하면 36이고 더하면 너희 집 주소다. 설명이 빠졌다고 되묻자 선생님은 
그렇구나! 제일 큰 아이는 피아노를 친다고 대답하였다. 딸 세명의 나이는 몇 살인가?

처음 이 문제를 들었을 때는

이게 무슨 말이야,,??

영화 번역이 잘 못 된 건가?

이게 문제 맞나?

이걸 풀 수 있어??라고 생각했는데...

 

영화에서는 책장을 나르던 갈루아가

큰 아이는 9살, 나머지 둘은 2살 쌍둥이라고 

바로 말했다.

 

그리고 이유는 설명해 주지 않고

고전에서 봤다고만 말한다. 하하하....

 

 

곱해서 36이 되는 숫자 3개를 생각해보자.

(1,1,36), (1,2,18), (1,3,12), (1,4,9), (1,6,6)

(2,2,9), (2,3,6), (3,3,4)까지 경우가 있다.

 

"더하면 너희 집 주소..."

더해보자.

(1,1,36)  →  38

(1,2,18)  →  21

(1,3,12)  →  16

(1,4,9)  →  14

(1,6,6)  →  13

(2,2,9)  →  13

(2,3,6)  →  11

(3,3,4)  →  10

 

"설명이 빠졌다"????

만약 더한 값이 21이었다면

딸들의 나이는 1,2,18로 결정되어

설명이 부족하지 않았을 것이다.

 

설명이 빠졌다는 말은 저 경우에서

더해서 13이 나온 경우이다. 2가지 이니깐!

 

(1,6,6,), (2,2,9) 

"제일 큰 아이는 피아노를 친다"

1살, 6살, 6살은 큰아이를 구분할 수 없지만

2살, 2살, 9살은 정확히 큰아이라 고 말할 수 있는

대상이 존재한다.

 

따라서 정답은 2살, 2살, 9살이 된다. 

 

 

 

 

방이 줄어들어 책장이 솟는 것을 막으려고

갈루아가 의자를 엎었다. 

더 이상 줄어 드는 것을 막을 방법이 없어

급하게 PDA에 답을 전송하려 하는데

의자에 둔 PDA는 어디로 날아가버렸고...

 

PDA를 찾으면서 올리바가 발견한

페르마가 가지고 온 초대장....???

 

응?? 페르마가 주최자인 줄 알았는데...

초대장을 가지고 왔다고?

 

그렇다!! 페르마는 이 모임의 주최자가 아니다!

그럼 누가 그들을 이곳으로 모이게 했을까?

 

 

이런 혼란스러운 상황에서 PDA에서 나온

문제!

 

거짓의 나라에서는 사람들이 다 거짓을 말하고, 진실의 나라에서는 사람들이 다 진실을 말한다. 한 외국인이 문이 둘 있는 방 안에 갇혔다. 문 하나는 자유로 가는 길이고, 다른 문은 아니다. 한 문은 거짓의 나라의 간수가 다른 한 문은 진실의 나라의 간수가 지키고 있다. 자유로 가는 문을 찾기 위해서 각각의 간수에게 같은 질문을 한 번씩 질문을 할 수가 있다. 하지만, 외국인은 누가 거짓 나라고 누가 진실 나라인지 모른다. 어떤 질문을 해야 하는가?

 

정답은 "상대방 간수가 어느 쪽 문이 

자유로 가는 문이라고 할까?"라고 

물어보는 것이다.

 

그러면 두 간수 모두

자유로 가는 문이 아닌 곳(지옥)을 가리킬 것이다.

 

A(자유) ,  B(지옥)

 

진실 나라 간수 입장에서 생각해보자.

상대방 간수는 거짓 나라 사람이라서 

B를 가리킬 것이니깐 진실 나라 간수는

B를 가리킬 것이다.

 

거짓 나라 간수 입장에서 생각해보자.

상대방 간수는 진실나라 사람이라서

A를 가리킬 것이니깐

거짓말로 반대쪽 문 B를 가리킬 것이다. 

 

따라서 외국인은 두 간수가 가리키는 곳의

반대쪽 문으로 들어가면

그곳이 바로 자유로 가는 길이다!

 

 

 

이 문제를 해결하고

그들은 서로의 정보를 공유하기 시작한다.

 

먼저 올리바.

그녀는 갈루아와 연인 사이였다.

한 남자와 인터넷에서 체스게임을 하게 되었는데

계속 지자 흥미가 생겨

그 남자가 초대한 선상 파티에 가게 된다.

그런데 배에서 그 남자에게 몹쓸 짓을 당하게 되고..

그 죄책감에 갈루아와 헤어졌다.

 

그런데 그 남자가 바로 힐버트...

 

 

이런 멘붕 상황에서 PDA 문제 제시 

멈추지 않는다.

 

어머니는 아들보다 21살이 더 많다. 6년 후에 아들은 어머니보다 5배 연하가 된다. 아버지는 무엇을 하는가?

 

방정식 문제다.

그런데 아버지가 뭘 하냐고???

이건 또 무슨 문제야ㅠㅠ

 

우선 먼저 풀어보자.

아들의 나이를 x라고 하면

어머니의 나이는 x+21

5(x+6)=x+21+6  ,  x= -3/4??

나이가 왜 음수지?

 

영화를 보니 답이 나온다.

이 음흉한 할아버지 힐버트

-9개월. 아버지와 어머니는 자고 계신다.

 

 

 

이런 이상한 문제를 낸 힐버트.

이제 그가 그에 대한 정보를 알려준다.

 

그는 평생을 골드바흐의 가설을

증명하는데 시간을 보냈고 

몇 개만 확인하면 증명을 발표할 수 있었다.

 

그런데 젊은 수학자 갈루아가

먼저 선수를 쳐서 증명했다고 발표를 했고...

그에 화가 난 힐버트는 

갈루아에게 메일을 보냈으며

그 메일을 여자 친구인 올리바가 보고

"증명이 엉망진창이 되었다"라는 

답장을 보내면서 

올리바와 인연이 되어 체스 게임을

하게 된 것이다.

 

그리고 갈루아가 너무 궁금해서

이 방에 초대해서 죽이려는 범죄를 꾸몄다고 밝혔다.

 

 

그 말을 듣고 놀란 갈루아..

갈루아는 첫 장면에서부터 

알 수 있었듯이 허세가 가득한 사람이다.

 

그의 고백

자신의 기숙사 방을 엉망으로 만들고

컴퓨터를 부신 사람은 

자기 자신이었다고.

 

자신은 사실 골드바흐의 가설을 증명하지 못했고

여자친구에게 잘난 척, 자랑을 하다 보니

거짓말이 점점 커져

인터뷰까지 하게 되었다고 밝혔다.

 

힐버트도 당황..

"내가  골드바흐의 가설을 증명한 일인자였어..."

 

 

 

이제 영화가 막바지로 달려간다.

 

해결해야 할 문제는 다 살펴보았다.

그들은 방에 갇혀서 다 죽었을까?

 

궁금하다면 영화를 보자!

진짜 재미있다.