페르마의 밀실 영화 속 수학 논리 문제 해결하기1

페르마의 밀실 영화 속에는 재미있는 수학 논리 문제가 등장한다.
처음 영화를 봤을 때는 상황이 긴박하고 빨리 진행돼서
문제를 풀어볼 생각을 하지 않았었는데

학생들과 여러번 보다보니 중1 학생들도
충분히 문제를 해결할 수 있겠다 싶어 학습지를 만들고
수업시간에 아이들과 함께 풀어보니
아이들도 흥미를 가지고 풀고
수업하는 나도 정말 재미있었다.

그래서 블로그에 문제와 그 풀이과정을 적어보고자 한다.

첫 번째로 생각해 볼 문제는 갈루아, 파스칼, 힐버트, 올리버가 약속장소에서 만나
'피타고라스'가 써진 배를 타고 가면서
힐버트가 일행들에게 낸 문제이다.

[문제1] 양치기가 양과 늑대, 양배추를 가지고 강을 건너야 한다. 한 번에 하나씩만 가지고 강을 건널 수 있다. 하지만 양과 양배추를 같이 두면 양이 양배추를 먹어버리고 늑대와 양만 같이 있으면 늑대가 양을 먹어버린다. 양치기가 양, 늑대, 양배추를 모두 무사히 강 건너편으로 가지고 가는 방법은?

이 문제는 너무나도 유명한 문제다.
같이 있어도 상관 없는 양배추와 늑대를 두고
먼저 양을 강 건너편으로 옮기는 것이 풀이의 핵심!
(양배추, 양, 늑대) A -----강---------> B
A위치에서 B로 옮긴다고 생각해보자.
A에 있는 양을 B로 옮긴 후--->
다시 A로 가서 늑대를 B로 데려오고--->
B에 있던 양을 데리고 A로 간다--->
A에 양을 두고 양배추를 싣고 B로 간다--->
B에 양배추를 두면 B에는 양배추와 늑대가 있으니 안심하고
다시 A로 가서 남아있는 양을 싣고 B로 오면
B에는 늑대, 양배추, 양이 무사히 옮겨졌다.

[문제2] 과자 가게 주인이 불투명 상자 세 개를 받았는데 상자 하나는 박하사탕만, 또 다른 하나는 딸기 사탕만, 나머지 상자에는 박하 사탕과 딸기 사탕이 섞여 있다. 각 상자는 '박하', '딸기','혼합' 이라는 라벨이 붙어있는데 과자 가게 주인이 "라벨이 모두!! 잘 못 붙여져 있다"고 말했다. 상자 속 내용물을 정확히 알기 위해서는 최소한 몇 번 사탕을 꺼내봐야 하는가?

경우의 수와 관련된 문제이다.
정답은 혼합에서 1번만 꺼내보면 된다.
이 문제 풀이의 핵심은! 라벨이 모두!!! 잘 못 붙여져 있다는 것!
즉, 혼합 라벨이 붙은 상자 안에는
단품(박하사탕만, 딸기사탕만)으로 구성된 사탕이 있을 것이다.

(라벨) 박하 / 딸기 / 혼합
(꺼냄) / / 딸기
혼합 상자에서 꺼낸 사탕이 딸기사탕이라면
그 상자는 딸기사탕만 있는 상자이다.
남아있는 박하와 혼합사탕은
박하 라벨, 딸기 라벨이 붙은 상자에 있을 것이다.
그런데 라벨이 모~두 잘 못 붙어있다고 했으니
박하사탕은 딸기 라벨 상자일 것이고
혼합 사탕이 박하 라벨 상자에 있을 것이다.
즉,
(라벨) 박하 / 딸기 / 혼합
(옳은 배치) 혼합 / 박하 / 딸기

혼합 라벨 상자에서 박하가 나온 경우도
마찬가지 방법으로 생각하면

(라벨) 박하 / 딸기 / 혼합
(옳은 배치) 딸기 / 혼합 / 박하



세번째 생각해 볼 문제는
방이 줄어들고 있다는 것을 눈치 챈
파스칼이 술을마시며
이 방은 페르마가 자신을 죽이려고 만든
함정이라면서 체념하 듯 하는 말이다.

[문제3] "이 방은 네 면의 둘레가 50m 이고, 각 면이 1분당 10cm씩 줄어들면 한 시간 안에 이 방은 엘리베이터만 해진다." 진짜 그럴까?

네 면의 둘레가 50m라면
한 면의 길이는 12.5m 이다.

한쪽 면이
1분에 10cm씩 줄어든다면
1시간(=60분)에는 600cm=6m가 줄어들 것이다.

네 면이 동시에 줄어들고 있기 때문에
한시간 후 방의 한 면의 길이는
12.5m-6m-6m=0.5m(50cm)
즉, 한시간 후, 방은 한 면이 50cm인 정사각형 영역이 된다.

엘리베이터는 한 면이 1m정도이니
한시간 안에! 이 방은 엘리베이터만 해진다는 말은 진짜였다!!



네번째 문제는 PDA에서 제시된
두번째 문제이다.

[문제4] 0000000000000 / 0011111111100 / 0111111111110 / 0111111111110 / 0110001000110 / 0110001000110/
0111110111110/0111100011110/0011111111100/0001010101000/0001101011000 / 0001111111000/0000000000000
다음 코드를 해독하시오.

이 문제가 도착하고 주인공들은 숫자의 개수를 센다.
169개!
169는 13의 제곱이다.
13의 제곱은 한 변이 13개의 칸으로 이루어진
정사각형 영역이기 때문에
갈루아는 흰색, 연두색 칩을 이용하여
0은 연두색, 1은 흰색을 배치한다.

완성된 그림은 해골!

다섯번째로 생각해 볼 문제는
방이 점점 줄어들면서
긴박한 상황에서 PDA에서 제시된 문제이다.

[문제5] 밀폐된 방안에 전등이 하나있다. 방 밖에는 세개의 스위치가 있는데 스위치 셋 중 하나만 방 안에 있는 전등을 켤 수 있다. 문이 닫혀있는 동안은 스위치를 맘대로 누를 수 있지만 문을 열었을 때는 어떤 스위치가 전등을 켜는지 말해야 한다.

이 문제풀이의 핵심은
힐버트의 행동이다.
방이 계속 줄어들고 있는 상황에서
전등들이 다 깨져서 없어질까봐
갈루아와 힐버트가 전등을 뽑아 안쪽으로 옮긴다.

같은 시간 켜져있던 전등을
갈루아는 아무렇지 않게 만졌는데
힐버트는 "앗!뜨거!"라고 말하며 손을 데였다.

그 행동을 힌트로 올리바가 이 문제를 해결한다.

힐버트는 왜 '앗뜨거!!'라는 힌트를 줄 수 있었던 것일까?


스위치 3개를 1번 스위치, 2번 스위치, 3번 스위치라고 하자.
1번 스위치를을 장시간 켜놓고
1번 스위치를 끄고 2번 스위치를 켠 상태로 방 문을 여는 것이다.

전등이 켜져 있다면 2번과 연결된 것이고
전등이 꺼져있는데 뜨겁다면 장시간 켜놨던
1번과 연결,
전등이 꺼져 있는데 차갑다면 한번도 누르지 않았던
3번과 연결 된 것이다.


오늘은 여기까지 다음 문제들은
페르마의 밀실 영화 속 수학 논리 문제 해결하기2에서
정리해보겠다.